Fundamentos del Cálculo Integral
Cauchy estudió las funciones continuas y Riemann las acotadas. Cauchy se basa en el límite común a las sucesiones monótonas. Riemann define que la diferencia entre las áreas exteriores e interiores llega a ser un infinitésimo
Definición
Si ei es un punto cualquiera del subintervalo Dxi entonces se cumple que:
ei „ f(eI) „ Ei Þ s „ S f(eI) Dxi „ S
de donde S f(eI) Dxi tiene el mismo límite que s y S
Propiedades de la integral definida
Prácticamente evidentes, solo recordando que la integral definida es un límite de la suma de áreas de rectángulos de base Dx y altura f(ei)
1.
Monotonía 
2. Inversión de los límites
3. Aditividad del integrando
4. Aditividad del intervalo
5. Carácter lineal
Teorema del valor medio
Dada una función y=f(x) acotada en [a,b] llamando e y E a sus extremos inferior y superior es evidente que :
de donde:
Llamaremos entonces m valor medio al que cumple:
Si la función fuera contínua este valor correspondería a algún punto e interior al intervalo [a,b]
donde es
Teorema fundamental
Sea y = f(x) una función continua y consideremos la función:
Si incrementamos x dentro del campo de continuidad de f(x) , la función F(x) resulta a su vez incrementada en
Por tanto:
y entonces el cociente
es el valor medio integral y su límite cuando
o sea la derivada de F(x) será por la continuidad de la función:
La integral definida de una función continua es una función, cuya derivada coincide con el valor de la función subintegral
Regla de Barrow
Si obtenemos una primitiva F(x) cuya derivada sea la función subintegral F(x) diferirá de la integral definida como máximo en una constante
pero como que :
resulta que es:
Enlaces
A Matemáticas y Bioestadística