Funciones Eulerianas
La función "gamma de p"
Llamamos integral euleriana de segunda especie o "gamma de p" a la integral:
que solo tiene sentido cuando p>0. En efecto: Descompongamos el intervalo en
que solo es convergente si es 1- p<1 lo que implica p>0
que también converge para p>0 puesto que si n>1 porque
es acotada:
En particular vemos que el valor de "gamma de 1" es uno:
Y mediante el cambio siguiente :
generalizaremos a "gamma de p"
Con lo que para p=1/2 tenemos el valor para "gamma de un medio"
relacionada con la integral de las probabilidades. Integrando por partes:
De donde, reiterando la integración vemos que si es:
de donde está tabulada:
La función "beta de p,q"
Se llama integral euleriana de primera especia o "beta de p,q" , a la integral binomia:
que solo tiene sentido para
Demostración:
Siendo acotada
la condición de convergencia. según el prototipo
exige que sea:
Escrita en la forma:
Siendo
acotada, la condición de convergencia según el prototipo:
exige :
En particular:
Simetría
Haciendo:
A Matemáticas y Bioestadística